लघुत्तम समापवर्त्य
Lower Common Multiple):- लघुत्तम समापवर्त्य वह छोटी -से -छोटी संख्या है जो उन दी हुई संख्याओं में से प्रत्येक से पूरी पूरी विभाजित हो जाए। समापवर्त्य का अर्थ है कि "सब में सम्मिलित अपवर्त्य "तथा लघुत्तम का अर्थ है छोटी से छोटी।
जैसे-6,12,18 के अपवर्त्य लिखकर लघुत्तम समापवर्त्य निकालें।
6 के अपवर्त्य=6,12,18,24,30,(36),42,48
12 के अपवर्त्य=12,24,(36),48,60,72
18 के अपवर्त्य=18,(36),54,72,90,
अतः सबसे छोटा अपवर्त्य 36 है।
इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य =36 होगा।
Lower Common Multiple):- लघुत्तम समापवर्त्य वह छोटी -से -छोटी संख्या है जो उन दी हुई संख्याओं में से प्रत्येक से पूरी पूरी विभाजित हो जाए। समापवर्त्य का अर्थ है कि "सब में सम्मिलित अपवर्त्य "तथा लघुत्तम का अर्थ है छोटी से छोटी।
जैसे-6,12,18 के अपवर्त्य लिखकर लघुत्तम समापवर्त्य निकालें।
6 के अपवर्त्य=6,12,18,24,30,(36),42,48
12 के अपवर्त्य=12,24,(36),48,60,72
18 के अपवर्त्य=18,(36),54,72,90,
अतः सबसे छोटा अपवर्त्य 36 है।
इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य =36 होगा।
लघुत्तम समापवर्त्य निकलने की विधियां:-लघुत्तम समापवर्त्य निकलने की प्रमुख दो विधियां हैं।
1-गुणनखंड विधि
2-भाग विधि
1-गुणनखंड विधि
2-भाग विधि
1-गुणनखंड विधि :- प्रत्येक संख्या के अपवर्त्य उस संख्या द्वारा पूर्णत विभाजित हो जाते हैं। जैसे 2 के अपवर्त्य 2 ,4 ,6 ,8 ,10 ,12 ,14 ,16 उसकी गुणनखंड 2,3,4,5 में पूरी पूरी विभाजित हो जाते हैं ।अतः दी हुई संख्या का लघुत्तम समापवर्त्य उन संख्याओं के गुणनखंड से विभाजित हो जाएगा इसलिए ल.स.प. निकालने के लिए संख्याओं के सभी गुणनखंड उनके सामने लिख लेते हैं।
उदाहरण-12=2×2×3
16=2×2×2×2
ल.स.प.=2×2×2×2×3=48
जैसे-12,18,36 का LCM
12=2×2×3
18=2×3×3
36=2×2×3×3
LCM=2×2×3×3=36
2-भाग विधि:- सभी दी हुई संख्याओं को पहले एक पंक्ति मे अर्द्ध विराम(,) लगाकर अलग -अलग रख लेते है । इन मे छोटी से छोटी अभाज्य संख्या का भाग देते है जो कम से कम एक या दो संख्याओं को पूरा-पूरा बाट सके भागफल को उन्हीं संख्याओं के नीचे लिख लेते हैं।पुनः किसी दूसरी अभाज्य संख्या बिभाजित करके।भागफल पुनः उन संख्याओंं के नीचे एक पंक्ति में लिखते हैं। यह प्रक्रिया तब तक चलती रहते हैं जब तक कि अंतिम पंक्ति मे 1,1 सभी संख्याओं के नीचें न बचा रहे ।अतः अब जिन -जिन अभाज्य संख्याओं से भाग दिया गया था उन सबका गुणा करके जो प्राप्त होता है वही अभीष्ट लघुत्तम समापवर्त्य होता है।
उदाहरण के लिए:-
महत्तम समापवर्तक (H.C.F) :- दो या दो से अधिक संख्याओं का महत्तम समापवर्तक वही बड़ी से बड़ी संख्या होती है जो उनमें से प्रत्येक को पूरा पूरा विभाजित करते हैं।
उदाहरण-
8 के अपवर्तक=1,2,4,8
12के अपवर्तक=1,2,3,4,6,12
16के अपवर्तक=1,2,4,8,16
ऊपर दी गई संख्याओं के अपवर्तक-1,2,4, है।अतः 8,12,16 का म.स.प.=4 होगा।
अपवर्तक- अपवर्तक का शाब्दिक अर्थ है विभाजक अर्थात जिन संख्याओंंं से कोई संख्या पूरी पूरी विभाजित हो जाती है उन संख्याओं को उस संख्या के अपवर्तक कहते हैं ।
जैसे 18 के अपवर्तक =1,2,3,6,9,18 हैं।
समापवर्तक:- ऐसे अपवर्तक जो दी हुए संख्याओं के अपवर्तक में सम्मिलित होते हैं समापवर्तक कहलाते हैं।
उदाहरण:-
16=1,2,4,8,,16
24=1,2,3,4,6,8,12,24
32=1,2,4,8,16,32
उदाहरण मे दिये गए संख्या में 1,2,4,8अपवर्तक सभी संख्याओं मे सम्मिलित हैं।अतः ये समापवर्तक कहलायेंंगे।
महत्तम समापवर्तक निकालने की दो विधियां हैं :-
1-गुणनखंड विधि
2-भाग विधि
1-गुणनखंड विधि :-
गुणनखंड विधि से सबसे पहले संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड उनके सामने लिख लेते हैं तथा देखते हैं कि कौन-कौन से गुणनखड सभी संख्याओं के गुणनखंडों में सम्मिलित हैं ।और जो गुणनखंड सर्वनिष्ठ है उनको नीचे उतार लेते हैं । इस प्रकार गुणनखंड के गुणनफल अभीष्ट महत्तम समापवर्तक होता है।
उदाहरण -
24= 2×2×2×3
36=2×2×3×3
48=2×2×2×2×3
म.स.प.=2×2×3 =12
अतः 12वह बड़ी संख्या है जिससे 24,36,और 48 पूरा -पूरा विभाजित होता है।
2-भाग विधि:- भाग विधि से दो संख्याओं का महत्त्व समापवर्तक निकालने के लिए पहले छोटी संख्या से बड़ी संख्या में भाग देेते हैं ।भाग देने के पश्चात जो शेेेष आता है उससे पिछले भाजक को भाग देते हैं उसके बाद शेेेष आने पर फिर बाद वाले भाजक को शेष द्वारा भाग देतेे हैं , ऐसा तब तक करते हैं जब तक पूरे बार भाग नहींं जाता ।जिस संख्याा से पूरेेेे बार भाग चला जाता हैै वही महत्तम समापवर्तक होता है।
जैसे-12और 18 का H.C.F होगा।
12)18(1
-12
6)12(2
-12
----
×
अतः म.स.प.=6
उपर्युक्त संख्या में 6 से भाग देने पर एक भी शेष नहीं रहता है।अतः 6 ही महत्तम समापवर्तक है।
★यदि 3 या 3 से अधिक संख्याओं का महत्तम समापवर्तक निकालना है ,तो पहले दो का निकाल लेते हैं। बाद में निकले हुए म. स. प. से तीसरे में भाग देकर देख लेते हैं। इस प्रकार जिस संख्या से पूरे बार कट जाता है वही समापवर्तक होता है।
जैसे-12,18,24का H.C.Fहोगा।
12)18(1
-12
6)12(2
-12
×
6)24(4
-24
××
H.C.F=6
अतः म.स.प. 6 होगा जो तीनों संख्याओं को पूरा पूरा विभाजित करता है।
Shortly Enhanced Lower Common Multiple): - The smallest number is a small number that will be completely divided by each of those given numbers. Enhanced means that "all the included refractible" and the meaning of the smallest is small. Like removing the refreshering of 6,12,18, remove the shortest. Refratable = 6,12,18,24,30, (36), refreshered = 12,24 of 42,48 12, (36), 48,60,72 18, 18, (36), 54,72,90, A Therefore, the shortest will be thorough = 36. Methods of Limitable Removal: - There are two major methods to get involved. 1-factor method 2-part method 1-factor method: - Reflecting of each number is fully divided by that number. Like refractive 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 of its multiplication is completed in 2,3,4,5. However, the number given will be divided by the multiplicity of those numbers. All the modes of numbers to remove them in front of them. Example-12 = 2 × 2 × 3 16 = 2 × 2 × 2 × 2 L.C. = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 48 LCM 12 = 2 × 2 × 3 18 = 2 In these, part of the smallest prime number, which can fulfill the completed one or two numbers, write the quoted below the same numbers. Poon: By referring to any other prime number. The Department writes in a line below those numbers. This process keeps moving until 1,1 in the last line is not left lower than all the numbers. However now the one who was divided by all the prime numbers, which is obtained by the same, the same is the same. For example: - Monitoring (H.C.F): - The maximum number of two or more numbers is a large number of large numbers that divide each whole of them. Example- refractive = 1,2,4,6,12 of refractive = 1,2,4,6,12 of the refractive = 1,2,4,8,16 of the numbers given above the number given above. Either 8,12,1 Refractive - Refractor is literal meaning, divider means the number of numbers that are fully divided by those numbers are called refractive. Like refractive = 1,2,3,6,9,18 of 18. Summer: - There are such refractories which are included in the refractive number of given numbers. Examples: - 16 = 1,2,4,8 ,, 16 24 = 1,2,3,4,6,8,12,24 32 = 1,2,4,2,4,8,16,32 In the example given in 1,2,4,8 refractive numbers in the example There are two methods to remove the maximum: 1-factor method 2-part method 1-factor: - First of all, the prime minister of the number of numbers writes in front of them and see which the properties of all numbers. Thus, the product of the corporation is equitable. Example - 24 = 2 × 2 × 2 × 3 36 = 2 × 2 × 3 × 3 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 M.P. = 2 × 2 × 3 = 12 So 12 is a large number from which 24,36, 2-Part Method: - To remove the significant significance of two numbers from the part method, participate in a large number of small numbers. After giving the part, they participate in the previous divisor after that, after the arrival of the afternoon, the afternary division Like -12 and 18 will be H.C.F. 12) 18 (1 -12 6) 12 (2 -12 ----, M.P.P. = 6 is not one remaining on the above mentioned number. However, only 6 is the highest increase. ★ If more than 3 or 3 numbers
2-भाग विधि:- भाग विधि से दो संख्याओं का महत्त्व समापवर्तक निकालने के लिए पहले छोटी संख्या से बड़ी संख्या में भाग देेते हैं ।भाग देने के पश्चात जो शेेेष आता है उससे पिछले भाजक को भाग देते हैं उसके बाद शेेेष आने पर फिर बाद वाले भाजक को शेष द्वारा भाग देतेे हैं , ऐसा तब तक करते हैं जब तक पूरे बार भाग नहींं जाता ।जिस संख्याा से पूरेेेे बार भाग चला जाता हैै वही महत्तम समापवर्तक होता है।
जैसे-12और 18 का H.C.F होगा।
12)18(1
-12
6)12(2
-12
----
×
अतः म.स.प.=6
उपर्युक्त संख्या में 6 से भाग देने पर एक भी शेष नहीं रहता है।अतः 6 ही महत्तम समापवर्तक है।
★यदि 3 या 3 से अधिक संख्याओं का महत्तम समापवर्तक निकालना है ,तो पहले दो का निकाल लेते हैं। बाद में निकले हुए म. स. प. से तीसरे में भाग देकर देख लेते हैं। इस प्रकार जिस संख्या से पूरे बार कट जाता है वही समापवर्तक होता है।
जैसे-12,18,24का H.C.Fहोगा।
12)18(1
-12
6)12(2
-12
×
6)24(4
-24
××
H.C.F=6
अतः म.स.प. 6 होगा जो तीनों संख्याओं को पूरा पूरा विभाजित करता है।
Shortly Enhanced Lower Common Multiple): - The smallest number is a small number that will be completely divided by each of those given numbers. Enhanced means that "all the included refractible" and the meaning of the smallest is small. Like removing the refreshering of 6,12,18, remove the shortest. Refratable = 6,12,18,24,30, (36), refreshered = 12,24 of 42,48 12, (36), 48,60,72 18, 18, (36), 54,72,90, A Therefore, the shortest will be thorough = 36. Methods of Limitable Removal: - There are two major methods to get involved. 1-factor method 2-part method 1-factor method: - Reflecting of each number is fully divided by that number. Like refractive 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 of its multiplication is completed in 2,3,4,5. However, the number given will be divided by the multiplicity of those numbers. All the modes of numbers to remove them in front of them. Example-12 = 2 × 2 × 3 16 = 2 × 2 × 2 × 2 L.C. = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 48 LCM 12 = 2 × 2 × 3 18 = 2 In these, part of the smallest prime number, which can fulfill the completed one or two numbers, write the quoted below the same numbers. Poon: By referring to any other prime number. The Department writes in a line below those numbers. This process keeps moving until 1,1 in the last line is not left lower than all the numbers. However now the one who was divided by all the prime numbers, which is obtained by the same, the same is the same. For example: - Monitoring (H.C.F): - The maximum number of two or more numbers is a large number of large numbers that divide each whole of them. Example- refractive = 1,2,4,6,12 of refractive = 1,2,4,6,12 of the refractive = 1,2,4,8,16 of the numbers given above the number given above. Either 8,12,1 Refractive - Refractor is literal meaning, divider means the number of numbers that are fully divided by those numbers are called refractive. Like refractive = 1,2,3,6,9,18 of 18. Summer: - There are such refractories which are included in the refractive number of given numbers. Examples: - 16 = 1,2,4,8 ,, 16 24 = 1,2,3,4,6,8,12,24 32 = 1,2,4,2,4,8,16,32 In the example given in 1,2,4,8 refractive numbers in the example There are two methods to remove the maximum: 1-factor method 2-part method 1-factor: - First of all, the prime minister of the number of numbers writes in front of them and see which the properties of all numbers. Thus, the product of the corporation is equitable. Example - 24 = 2 × 2 × 2 × 3 36 = 2 × 2 × 3 × 3 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 M.P. = 2 × 2 × 3 = 12 So 12 is a large number from which 24,36, 2-Part Method: - To remove the significant significance of two numbers from the part method, participate in a large number of small numbers. After giving the part, they participate in the previous divisor after that, after the arrival of the afternoon, the afternary division Like -12 and 18 will be H.C.F. 12) 18 (1 -12 6) 12 (2 -12 ----, M.P.P. = 6 is not one remaining on the above mentioned number. However, only 6 is the highest increase. ★ If more than 3 or 3 numbers
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